**TI89**estimatiTextObject file 05/18/05, 09:22Rintproex [¥Zù oooooooEXERCICESooooooooEX1 On veu connaitre la proba qu'une piece sortie d'une chaine de product° soit defectueuse On tire un EA de 200 pieces dont 5% sont defectueuses a)Donner une estimat° ponctuelle de p b)Donner une estimat° dep par interval de confiance au niveau de confiance 0.98 c)Donner l'imprecis° relative de cet estimat°d)En supposant que la frequence observee soit tjs de 5% quel devrait etre o nivo de confiance0.98 la taille de l'EA pr obtenir une estimat° par interval de conf avcune imprecis° relative au plus egal a 5% SOLUT° Soit “ l'ens des pieces produites ou a produire Soit X la VA qui a une piee de “ associe 1 si elle est defectueuse 0 sinon Donc L(x)=Be(p) avc p laproport° de piece defct On considere l'EA (X1,...,Xn) associe a X On considere aussi la VA 1 n fn=-*Ž(X—) qi a tt EA n —=1 de n=200 pieces de “ associe la frequence f de pieces defct ds l'ech a) fn est un estimateur nonbiaise de p donc l'imagef de l'ech que l'on possede par cet estimateur est une estimation ponctuelle de p ^ p=f=0.05=5% b) l'EA (X1,...,Xn) est independant donc L(nfn)=B(n,p) et puisquen=200>30 on a: L(fn)#N(p,¨((p*(1-p))/n) L(fn)#N(p,¨((p*(1-p))/200)) On prend l'estimatR de l'ecart type ¨((p*(1-p))/200)) la VA fn(1-fn) -------- = n-1 fn(1-fn) -------- d'ou: 199 fn-p L(-----------) # N(0;1) fn(1-fn) ¨(--------) 199 fn-p P(­t<(-----------)0.1 dc L(nfn)=H(200,32,p) On a n>30 et on peut que0.2œpœ0.8 Donc p(1-p) N-n L(fn)#N(p,¨(-----*----)) n N-1 p(1-p) 200-32 #N(p,¨(-----*-------)) 32 200-1 0.84 L(fn)#N(p,¨(p(1-p)*----) 32 On prend l'estimatR de l'ecart type C ¨((p*(1-p))*(0.84/32)) la VA fn(1-fn) -------- = n-1 C¨((fn*(1-fn))*(0.84/31)) D'ou CL(((fn-p)/( ¨((fn*(1-fn))*(0.84/31)))))#N(0,1) On cherche t tq: fn-p P(­t<(-------------)