**TI89**comparTextObject file 05/18/05, 09:22Rproporti ĄZ° 4 TEST DE COMPARAISON DE 2PROPORT° On considere 2pop “1 et “2 de taille N1 et N2 et on considere pour —=1ou 2 la VA X— qui a tt ind ”— associe une propriete donne A X—|R ”—X—(”—)=1,0 sinon L(X—)=Be(p—) oů p— est la proport° d'ind de “— possedant A On veut tester Ho:P1=p2 et H1:p1ťoup2 On considere (X1,...,Xn)l'EA de taille n associea X— On considere la VA 1 n fn—=- * Ž(X—j) n— —=1 qui a tt ech de n— ind de “— asoci la frequencef— des ind de l'EA qui possede A L(n—fn—)H(N—,n—,p—) on peu suposer n—/N—<0.1donc L(n—fn—)#B(n—,p—) si n—>30 L(n—fn—)# N(n—p—;¨[p—(1-p—)])d'ou p—(1-p—) L(fn—)#N(p—;¨(--------)) n— on en deduit que L(fn1-fn2)# N(p1-p2; p1(1-P1) p2(1-p2 ¨(-------- +-------)) n1 n2 Sous l'hyp Ho:p1=p2=p on prd com estimateur dep la moyN arithmetik desestimateurs de p1 et p2 cad fn1 et fn2 D'ou f(n1,n2) l'estimatRde p est n1*fn1+n2*fn2 f(n1,n2)=-------------- n1+n2 alors l'estimateur de lavariance p1(1-P1) p2(1-p2) ¨(-------- +--------) n1 n2 est: ¨[f(n1,n2) 1 1 *(1-f(n1,n2))(--+--)] n1 n2 = C(¨(f(n1,n2)*((1-f(n1,n2))*(1/n1+1/n2)))) et on a fn1-fn2-(p-p) L(----------------- ¨[f(n1,n2) 1 1 *(1-f(n1,n2))(--+--)] n1 n2 CL((fn1-fn2-(p-p))/(¨(f(n1,n2)*(1-f(n1,n2)*(1/n1+1/n2)))))#N(0,1) oooooooEXEMPLEooooooooo soi une compagnie d'assurance vie qui etudie le % de decede ds les 10anssuivant la sgnature d'1 contrat il existe 2types de contrats.Le 1°avc prime fixele second avc prime variant avc l'etat de sante du client On preleve 979 assures selon les termes du 1° contrat. On trouve 48 deces parmi eux On preleve 1EA de 140 assures selon les termesdu 2°contrat. On trouve 13 deces parmi eux. La compagnie souhaite savoir si le pourcentagede deces correspondant aux 2types de contrats sont ť au nivo de 5% Soit “1 l'ens d assures selon les termes du 1° contrat “2....2°contrat ces pop sont de tailles N1 et N2 Soit X— la VA qui a tt client ”— de “— associe 1 s'il est decide ds les10ans suivant la signature de son contra 0 sinon L(X—)=Be(p—) avc p— la proport° d'assures de “—qui decede ds les 10ans suivant la signature de son contrat Soit (X—,...,Xn—) l'EA de taille n— (n1=979 ou n2=140) asocia X— On considere aussi la VA 1 fni=-Ž(X—) qui a tt ech n— de n— individus assures selon les termes do contrats — asocie la frequence fi des assures de l' ech qui sont decedes ds les 10ans L(nifni)=H(Ni,ni,pi) On peut supposer que n—/N—<0.1 dc L(nifi)#Be(n—,p—) Puisque n—>30 alors p—(1-p—) L(fn—)#N(p—;¨(--------)) n— Ds l'hypo Ho:P1=P2=P estestime par n1*fn1+n2*fn2 f(n1,n2)=-------------- n1+n2 et CL((fn1-fn2-(p-p))/(¨(f(n1,n2)*(1-f(n1,n2)*(1/n1+1/n2)))))#N(0,1) La region d'acepat° est de la forme RA=]-Ś;Ś[ avc Ś tq P(fn1-fn2<Ś/Ho)=0.95 on pose T = C(fn1-fn2)/(¨(f(n1,n2)*(1-f(n1,n2)*(1/n1+1/n2)))) DEMANDER SI IL FO LA RACINE L(T)=N(0,1) et on est amene a chercher t tq P(­t0.04 dc on rejtte Ho au seuil de5% Conclusion Dc au risque de 5% on decide que la proport° de deces survenant ds les 10 ans aprs la sign ŕst